練習89でGal(E/S）〜 S_nとなる。F(x_1,....,x_n)ではなく、F(x_1,...,x_n-1)に置き換えると同様に、Gal(K/S)〜S_n-1となるが、E/S、K/Sがそれぞれ練習89でつかったような式の分解体であることを確認できるので定理58からGal(E/S)/Gal(E/K)〜Gal(K/S） 従っ…

（なんかメモばかりだけど後から書くよ） p(x)を、その分解体KでΠ(x-α_s)Π(x-α_t)と分解して、Π(x-α_s)とΠ(x-α_t)がそれぞれ、K⊃E⊃FとなるEで既約だと仮定してみるってアイディアはどうだろう。 Π(x-α_s)の次数のほうが大きいとする。σ(a_t)=α_sとなるσ∈Gal(…

すげー。すげえよ。正規部分群の定義をみても、なんでこんなものにこんなご大層な名前がついてるか想像できないわけだが、すごいよ。すごすぎる。奴はモノリスに触れたに違いない。

まずひんとのところから。 ぐはー、これ、SがEの部分体ってとこがミソだよな。FがK（≠F）でも成り立ちそうで成り立たない理由は、拡大される側の体が部分体であるってとこだよね。なんかずるい。で、ヒントどおりにf(t)を考えると、t^nの係数は、全部Sの元に…

補題68がつかえるかもしれない。Fの標数が2でなければ、x^2-1∈F(x)は、その分解体に２つの異なる根をもつ。 わかったぞ！！！！ α∈Eをひとつ選ぶ。ただし、Fに含まれないとする。[E:F]=2だから、α^2∈Fになる。そうでなければ、3次元以上になってしまうからね…

これはヒントどおりに考えれば、それが例になっている。 Q(α)は、x^2-2の分解体なので、定理81(iii)よりガロア拡大。 Q(β)は、x^2-sqrt(2)の分解体なので、同じく、ガロア拡大。 しかし、G=Gal(Q(β)/Q))={1,-1}になる。複素根は、Q(β)に含まれないので、E^G…

実際やってみて、なんで左手をネックの上から回す必要があるのかよくわかった。正攻法だとまともにミュートできないのだ。単に派手なビジュアルってなだけでない必然性があるわけだな。よく考えるよなあ。

要するに定理81の(iii)。E/Fがガロア拡大であれば、Eはある分離的な多項式f(x)∈F[x]の分解体である。E/Bを考えるとF⊂Bなのでf(x)∈B[x]であり、Eはその分解体であるから、E/Bはガロア拡大になっている。

さっぱりわからない。標数から復習しなおしかな。定理56、79あたりを使うのだろうか。

i) 合成体の定義から、F(α_1)⊂F(α_1,....,α_n)なので、F(α_1)V...VF(α_n)⊃F(α_1,....,α_n) 逆の包含関係はn=1のときは、成立する。n=kで成り立つとすると、n=k+1で成り立つことを言えばいいので、２つの体の合成を言えばいい。F(α,β)の元をaとすると、その元…

R_ｔを含む分解体Kは、Gal(K/F）の写像σでRtを移すと、練習84から、Rtの写像の合成体となる。 これが冪根拡大かどうかが論点。最後の分解体うんぬんの文言は練習83を適用すればいい。α^mがFの元であることから、σで固定されているのでσ(α)を使ってなされる拡…

ヒントどおりでよい。nは素因数分解できるので、因子p^m以外をαとおきなおせば、ヒントのときが使える。仮定から ちょっと変な表記だけど、F=F(α^n)なので、F⊂F(α^p^m-1)⊂....⊂F(α^p)⊂F(α）となり、素数形純拡大。 αを他の因子で書き直せば、塔はE/Fまで延長…

これもほとんどヒントに沿って。まず、有限拡大なら定理46から、代数拡大で、B=F(α_1,....,α_n)となるα_1,....,α_nがある。定理47から、各々のα_iに対して、それを根とする規約多項式p_i(x)∈F[x]が存在する。 f(x)=Πp_i(x)とおけば、定理30によりこれを分解…

ちょっと問題を考えて方針が思い浮かんだので...とか思ってたらブランクが空いてしまった。電車で続きを読んだが 指標の章は、論理展開の全体像を想像したときに、不安だったところの回答が書かれていた。全写というのは使える条件だなあ。まあ電車で問題考…

ふっかーつ。 TCPのふっかつはもう少し先。

とても読める状態ではない。

83は定理47、84は補題54を使うのかな。85も結局補題54か？ 多段にわたる拡大体の塔の例がイメージできないので、もう一度読み直そうか。ああ、それは82なのか。

84の(ii)がわからない。こまった。いや、別にこれがわからなくても死ぬわけではないけど、これがわからないと85番もわからないぞ(ぉぃ) で、85番がわからないと補題73が、そして74、75と芋づる式に駄目。つまり13章すべては84にかかっているのだ。

なんか論理の飛躍というか、群論の結果使いまくり過ぎじゃないですか？ この展開はちょっと素人にはツライですよ。いや、その「思い出そう」とか言われても無理だから。 で、なんかアーベル=ルフィニの定理とか、ここで出てきてしまうと、終わりまで読むモチ…

i)uが超越的な場合 Z_pはFの部分体（本当は同型なんだけど、それをZ_pと書くよ）であってuがFの生成元とする。 さらに、uがZ_pで超越的な場合を考える。Z_pは部分体だし、uは生成元なので Z_p(u)＝Fとなるが、Fが巡回群とすると、uが生成元だからZ_pの元1に…

ヒントどおりにすすめる。Fの標数が0の場合、有理数体Qからの同型写像φがあってImgφ⊂F。Fが巡回群とすると、異なる素数a,bがあって生成元uがあってφ(a)=u^s、φ(b)=u^tとなる。φ(a^t)=u^(t+s)=φ(b^s)なので、a^t=b^sになるので矛盾。したがって、巡回群ではな…

E/Fとかが商にみえてしまうのと、Gal(E/F)とかが、読んでる途中で具体的イメージが消えてしまい、それを意識しだすと、定理の論理展開についていけない。という問題に直面。難しいね。抽象的な議論は追えても具体的な例が頭に浮かばないと理解したとはいえな…

i)定理45から、n次のf(x)が既約なのでK=F[x]/(f(x))はFの拡大体で、f(x)の根をつかって、そのF上の基底は{1,α,...,α^n-1}であるから[K/F:F]=n,K/Fでf(x)が分解する場合はそれでおわり。しない場合、その根を使って分解するまでK/Fを拡大すればよい。次元公式…

i)f(x)が既約で、補題50でFとF'をE/Fとおくと、Gal(E/F)の元でσで、f(x)の根βに対して、根αがあって、σ(α)=βが存在するので、推移的。 ii)既約でないと仮定すると、既約なg(x)でf(x)=g(x)h(x)と書ける、重根がないので(g(x),h(x))=1、αがgの根であれば、g(x)…

f(x)=x^4-10x^2+1の分解体は、根α=sqrt(2)+sqrt(3)とすると、Q(α)で、[Q(α):Q]=4 {1,sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6)}が基底、sqrt(2),sqrt(3)の符号を入れ替えるものがGal(Q(α)/Q)の元だから Z_2*Z_2でいいのかな。（ちがってたらおしえて）

あれれ、これは簡単とおもったけど、いざ書こうとすると詰まるorz... i)α,βが代数的なら、モニック多項式があって、その根になっていおり、それぞれのモニック多項式の次数をs,tとすると、{1,α,....α^s-1},{1,β,....β^t-1}を基底として、F(α)/F,F(α,β)/F(α)…

やばい。昼間っから酒を飲んでしまったよ。数学を考えるのはだるいので、ギターをさらうことにしよう。とりあえず無伴奏チェロ１番のプレリュードの後半がちゃんと弾けないのでどうにかしたい。っていうかだね。後半のポジショニングがよくわからない。読譜…

これもちょろっとメモったけど、同型であることまで論証できるのかもしれないけど、ちょっとわからなかった。前半：有限拡大じゃなかったらどうするんだろう...F(α_1,...,α_n)はF上の線形空間とみなせる。有限拡大が保証されていない場合、基底があると言う…

E/Fが有限拡大なので、基底がある。この基底を使ってB/Fが書けるので、B/Fも有限拡大になる。有限であればB/Fの基底が取れる。B/Fの基底でE/Fの基底を書いて、そのB/Fの基底での商をつくれば、それは、E/Bの基底になる。以上から、[E:F]=[E:B][B:F]になる。…

K=Z_p(t)はZ_pを係数としたtを変数とする有理式全体である。ヒントどおりにf(x)=x^p-tの分解体をE/Kとする。f(x)のEでの根をαとするとf(x)=x^p-t=(x-α)^p=x^p-α^pとなる。従ってt=α^pなので、αはtのp乗根となるが、tの有理式ではないのでαはKの元ではない。f…