実際やってみて、なんで左手をネックの上から回す必要があるのかよくわかった。正攻法だとまともにミュートできないのだ。単に派手なビジュアルってなだけでない必然性があるわけだな。よく考えるよなあ。

要するに定理81の(iii)。E/Fがガロア拡大であれば、Eはある分離的な多項式f(x)∈F[x]の分解体である。E/Bを考えるとF⊂Bなのでf(x)∈B[x]であり、Eはその分解体であるから、E/Bはガロア拡大になっている。

さっぱりわからない。標数から復習しなおしかな。定理56、79あたりを使うのだろうか。

i) 合成体の定義から、F(α_1)⊂F(α_1,....,α_n)なので、F(α_1)V...VF(α_n)⊃F(α_1,....,α_n) 逆の包含関係はn=1のときは、成立する。n=kで成り立つとすると、n=k+1で成り立つことを言えばいいので、２つの体の合成を言えばいい。F(α,β)の元をaとすると、その元…

R_ｔを含む分解体Kは、Gal(K/F）の写像σでRtを移すと、練習84から、Rtの写像の合成体となる。 これが冪根拡大かどうかが論点。最後の分解体うんぬんの文言は練習83を適用すればいい。α^mがFの元であることから、σで固定されているのでσ(α)を使ってなされる拡…

ヒントどおりでよい。nは素因数分解できるので、因子p^m以外をαとおきなおせば、ヒントのときが使える。仮定から ちょっと変な表記だけど、F=F(α^n)なので、F⊂F(α^p^m-1)⊂....⊂F(α^p)⊂F(α）となり、素数形純拡大。 αを他の因子で書き直せば、塔はE/Fまで延長…

これもほとんどヒントに沿って。まず、有限拡大なら定理46から、代数拡大で、B=F(α_1,....,α_n)となるα_1,....,α_nがある。定理47から、各々のα_iに対して、それを根とする規約多項式p_i(x)∈F[x]が存在する。 f(x)=Πp_i(x)とおけば、定理30によりこれを分解…

ちょっと問題を考えて方針が思い浮かんだので...とか思ってたらブランクが空いてしまった。電車で続きを読んだが 指標の章は、論理展開の全体像を想像したときに、不安だったところの回答が書かれていた。全写というのは使える条件だなあ。まあ電車で問題考…

ふっかーつ。 TCPのふっかつはもう少し先。

とても読める状態ではない。

83は定理47、84は補題54を使うのかな。85も結局補題54か？ 多段にわたる拡大体の塔の例がイメージできないので、もう一度読み直そうか。ああ、それは82なのか。

84の(ii)がわからない。こまった。いや、別にこれがわからなくても死ぬわけではないけど、これがわからないと85番もわからないぞ(ぉぃ) で、85番がわからないと補題73が、そして74、75と芋づる式に駄目。つまり13章すべては84にかかっているのだ。

なんか論理の飛躍というか、群論の結果使いまくり過ぎじゃないですか？ この展開はちょっと素人にはツライですよ。いや、その「思い出そう」とか言われても無理だから。 で、なんかアーベル=ルフィニの定理とか、ここで出てきてしまうと、終わりまで読むモチ…

i)uが超越的な場合 Z_pはFの部分体（本当は同型なんだけど、それをZ_pと書くよ）であってuがFの生成元とする。 さらに、uがZ_pで超越的な場合を考える。Z_pは部分体だし、uは生成元なので Z_p(u)＝Fとなるが、Fが巡回群とすると、uが生成元だからZ_pの元1に…

ヒントどおりにすすめる。Fの標数が0の場合、有理数体Qからの同型写像φがあってImgφ⊂F。Fが巡回群とすると、異なる素数a,bがあって生成元uがあってφ(a)=u^s、φ(b)=u^tとなる。φ(a^t)=u^(t+s)=φ(b^s)なので、a^t=b^sになるので矛盾。したがって、巡回群ではな…