i)定理45から、n次のf(x)が既約なのでK=F[x]/(f(x))はFの拡大体で、f(x)の根をつかって、そのF上の基底は{1,α,...,α^n-1}であるから[K/F:F]=n,K/Fでf(x)が分解する場合はそれでおわり。しない場合、その根を使って分解するまでK/Fを拡大すればよい。次元公式…

i)f(x)が既約で、補題50でFとF'をE/Fとおくと、Gal(E/F)の元でσで、f(x)の根βに対して、根αがあって、σ(α)=βが存在するので、推移的。 ii)既約でないと仮定すると、既約なg(x)でf(x)=g(x)h(x)と書ける、重根がないので(g(x),h(x))=1、αがgの根であれば、g(x)…

f(x)=x^4-10x^2+1の分解体は、根α=sqrt(2)+sqrt(3)とすると、Q(α)で、[Q(α):Q]=4 {1,sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6)}が基底、sqrt(2),sqrt(3)の符号を入れ替えるものがGal(Q(α)/Q)の元だから Z_2*Z_2でいいのかな。（ちがってたらおしえて）