あれれ、これは簡単とおもったけど、いざ書こうとすると詰まるorz... i)α,βが代数的なら、モニック多項式があって、その根になっていおり、それぞれのモニック多項式の次数をs,tとすると、{1,α,....α^s-1},{1,β,....β^t-1}を基底として、F(α)/F,F(α,β)/F(α)…

やばい。昼間っから酒を飲んでしまったよ。数学を考えるのはだるいので、ギターをさらうことにしよう。とりあえず無伴奏チェロ１番のプレリュードの後半がちゃんと弾けないのでどうにかしたい。っていうかだね。後半のポジショニングがよくわからない。読譜…

これもちょろっとメモったけど、同型であることまで論証できるのかもしれないけど、ちょっとわからなかった。前半：有限拡大じゃなかったらどうするんだろう...F(α_1,...,α_n)はF上の線形空間とみなせる。有限拡大が保証されていない場合、基底があると言う…

E/Fが有限拡大なので、基底がある。この基底を使ってB/Fが書けるので、B/Fも有限拡大になる。有限であればB/Fの基底が取れる。B/Fの基底でE/Fの基底を書いて、そのB/Fの基底での商をつくれば、それは、E/Bの基底になる。以上から、[E:F]=[E:B][B:F]になる。…

K=Z_p(t)はZ_pを係数としたtを変数とする有理式全体である。ヒントどおりにf(x)=x^p-tの分解体をE/Kとする。f(x)のEでの根をαとするとf(x)=x^p-t=(x-α)^p=x^p-α^pとなる。従ってt=α^pなので、αはtのp乗根となるが、tの有理式ではないのでαはKの元ではない。f…

かつてない難問...f(x)を因子分解して、p_n(x)を既約因子になっているとする。 Fが完全⇔任意の因子f(x)の既約因子p(x)が重根をもたない。 ⇔p(x)が既約かつ(p(x),p'(x))≠1。 p(x)があらわに(x-α)^2を含めば、既約ではないため、F標数0なら、常に完全。 さて、…

有限体なら標数p>0なので、76を使う。 FからFへの写像、α->α^pは単写なので、逆が存在し76からすぐに完全であることがわかる。

ガロア群ですよ。なんかガロア理論の核心に近づいてる感じじゃね？で、いきなりだけど、前の章の練習問題で使う用語の定義を後からするのやめてくれ。正しく解釈できたからいいけど。で、やはり定理51が重要であることを再認識。当たり前と思えるくらいでな…