練習79

i)f(x)が既約で、補題50でFとF'をE/Fとおくと、Gal(E/F)の元でσで、f(x)の根βに対して、根αがあって、σ(α)=βが存在するので、推移的。
ii)既約でないと仮定すると、既約なg(x)でf(x)=g(x)h(x)と書ける、重根がないので(g(x),h(x))=1、αがgの根であれば、g(x)の根αに対し、推移的であることを使うと、σ(α)がh(x)の根となる。ようになσがある。一方、補題54から、σ(α)はg(x)の根なので、f(x)の根として重根。よって、既約ではない。