練習73

これもちょろっとメモったけど、同型であることまで論証できるのかもしれないけど、ちょっとわからなかった。前半：有限拡大じゃなかったらどうするんだろう...

F(α_1,...,α_n)はF上の線形空間とみなせる。有限拡大が保証されていない場合、基底があると言うのはキケンなので、次のような言い方にする。任意の元a∈F(α_1,....,α_n)は、a_n^iの線形結合の商で書ける。
σでFの元は固定されており、さらにα_iも固定されているので、σが体同型であることから、σ(a)=aとなる。

後半σ、τがF(α_1,....,α_n)->Eで各点を固定ということは、Fの上の同型写像。これがαを添加した体で同型に拡張できるかというと、わからない。もしいえれば、任意の元を、線形結合で書いてから比較すれば添加した体全体での一致が言える。しかし、拡張の保証は誰がしてくれるのだ？

補題50では、σの同型な拡張の一意性を言うだけなので、同型であることは自動的に保証される。本編の論理は破綻しないんだけど、同型という仮定がなくても証明できるかもしれないとおもうと、気持ちわるい。