練習72

あれれ、これは簡単とおもったけど、いざ書こうとすると詰まるorz...
i)α,βが代数的なら、モニック多項式があって、その根になっていおり、それぞれのモニック多項式の次数をs,tとすると、{1,α,....α^s-1},{1,β,....β^t-1}を基底として、F(α)/F,F(α,β)/F(α)が有限次元ベクトル空間になる。従って定理49から、F(α,β)/Fは有限拡大なので、定理49から代数拡大。α+β、αβ、α^-1は、F(α,β）の元なので、代数的である。
ii)部分体になるのは、(i)からわかる。Fを含むのは自明だろ。っていうかこういう書き方は許されないのかもしれないけどオレは素人だからいいんだよｗ
iii)素数pに対応したモニック多項式の列　x^p-1（pは素数）を考える。
A/Qはx^pの冪根を含む。あるpに対し、p個の基底からなる代数拡大となる体を含むが、異なるpで
加わる基底は共通ではなく、線形従属ではない。pが有限個ではないので、A/Qは有限ではない。（もっとかっこいい書き方あるかな）