練習78
i)定理45から、n次のf(x)が既約なのでK=F[x]/(f(x))はFの拡大体で、f(x)の根をつかって、そのF上の基底は{1,α,...,α^n-1}であるから[K/F:F]=n,K/Fでf(x)が分解する場合はそれでおわり。しない場合、その根を使って分解するまでK/Fを拡大すればよい。次元公式からそのF上の次元はnを因数として含む。
ii)定理56から、|Gal(E/F)|=[E:F]なので、n||Gal(E/F)|となる。
i)定理45から、n次のf(x)が既約なのでK=F[x]/(f(x))はFの拡大体で、f(x)の根をつかって、そのF上の基底は{1,α,...,α^n-1}であるから[K/F:F]=n,K/Fでf(x)が分解する場合はそれでおわり。しない場合、その根を使って分解するまでK/Fを拡大すればよい。次元公式からそのF上の次元はnを因数として含む。
ii)定理56から、|Gal(E/F)|=[E:F]なので、n||Gal(E/F)|となる。