i) σ(T(α))=T(α)なので、imTはσ∈Gで動かない。だからF。 T(α+β)もσ(α+β）=σ(α)+σ(β)からいえる。 ii)指標の独立性からTが恒等的に0なら矛盾する。（っておい、ヒントそのままじゃねえか）

i)α∈imτなら、あるβが存在して、α=σ(β)-βなので、T(α)=T(β)-T(β)なので、α∈kerTだからkerT⊃imτ EはFのガロア拡大なので、kerτ=Fで、Eは、次元nの拡大だから、dim(imτ)=n-1 σ^n(β）をβと置き換えてかんがえれば、αに相当するものは線形独立でn-1個だからdim(k…

i)u+iが解になることはpi=0からわかる。 ii)uがFの元なら、分解するし、Fの元でないなら既約

ええと、トレース定理から1がkerTならOK。 でT(1)は、Σσ(1)なんだが、Fの標数pなのでp1=0ね。 αが解なら、α+iが解なので、F(α)が分解体。

96番のヒントがたぶんミスプリ。99番の誘導にもついていけない。

pと異なる素数の冪根の場合、p乗してもKの元にも、pの冪にもらならないからべき根塔の拡大から除外できる。p冪根であれば、x^pはKの元だが、xはKの元でないので、根にはなりえない。ええと、つまり、(a+b)^p=a^p+b^pとばらせるので、q冪根が、p乗したら、q冪…

標数が0以外の場合は、病的と言うか、直観とかけ離れていてちょっとつらい。

いやあ、まいった。なぜnではなくpと書いてあるかってことだよ！ 定理31をすっかり忘れていた。世の中もっと単純なんだよね。Z_pのpは素数に決まってるじゃん。あーすっきりした。一人で読んでいるとこういうつまづきからすぐに立ち直れないリスクが大きすぎ…

定理86を適用する。（詳細はあとで）xとyの線形結合を考えれば、その結合比率は無限にある。だからx+Γyを添加した中間体は無限個ある。で定理86。

順番がへんだけど、練習97のヒントと、定理70あたりを絡めれば、前半が言える。で、後半はどうするんだろう...難しい。ガロアの定理をどう当てはめるんだろう。やっぱり前半もだめだ。わからねえ。 前半は、解をαとすると、α+iも解(iはpより小さい自然数)に…

Peskin&SchroederもSICPも最初の演習問題が解けそうなことを確認した。きっと読めるはずだ。ガロア理論を読み終わるまでつんどく。

死ぬ前に理解しておきたいコトといえば、ちゃんとした場の理論か、ちゃんとした計算機科学だろうなあ。てことで、Peskin&Schroederの量子場理論入門か、SICPが候補なのだ。後者はひげぽんさんが読んでて楽しそうだったからだけど、それならTCPが先ですかそう…

へんなミスプリ。わかるからいいけど。

群論の知識があまりないのでA_6とか言われてもぱっとわからない。定理G37を既知という前提で考えよう。 ガロアの定理を当てはめるのだろうが....まだ式をみても、各記号がどんな集合の元なのか(作用する群なのか作用される体なのか）なんかがぱっと浮かばな…

練習89でGal(E/S）〜 S_nとなる。F(x_1,....,x_n)ではなく、F(x_1,...,x_n-1)に置き換えると同様に、Gal(K/S)〜S_n-1となるが、E/S、K/Sがそれぞれ練習89でつかったような式の分解体であることを確認できるので定理58からGal(E/S)/Gal(E/K)〜Gal(K/S） 従っ…

（なんかメモばかりだけど後から書くよ） p(x)を、その分解体KでΠ(x-α_s)Π(x-α_t)と分解して、Π(x-α_s)とΠ(x-α_t)がそれぞれ、K⊃E⊃FとなるEで既約だと仮定してみるってアイディアはどうだろう。 Π(x-α_s)の次数のほうが大きいとする。σ(a_t)=α_sとなるσ∈Gal(…

すげー。すげえよ。正規部分群の定義をみても、なんでこんなものにこんなご大層な名前がついてるか想像できないわけだが、すごいよ。すごすぎる。奴はモノリスに触れたに違いない。

まずひんとのところから。 ぐはー、これ、SがEの部分体ってとこがミソだよな。FがK（≠F）でも成り立ちそうで成り立たない理由は、拡大される側の体が部分体であるってとこだよね。なんかずるい。で、ヒントどおりにf(t)を考えると、t^nの係数は、全部Sの元に…

補題68がつかえるかもしれない。Fの標数が2でなければ、x^2-1∈F(x)は、その分解体に２つの異なる根をもつ。 わかったぞ！！！！ α∈Eをひとつ選ぶ。ただし、Fに含まれないとする。[E:F]=2だから、α^2∈Fになる。そうでなければ、3次元以上になってしまうからね…

これはヒントどおりに考えれば、それが例になっている。 Q(α)は、x^2-2の分解体なので、定理81(iii)よりガロア拡大。 Q(β)は、x^2-sqrt(2)の分解体なので、同じく、ガロア拡大。 しかし、G=Gal(Q(β)/Q))={1,-1}になる。複素根は、Q(β)に含まれないので、E^G…