練習81（Fの標数がp>0の場合）

i)uが超越的な場合
Z_pはFの部分体（本当は同型なんだけど、それをZ_pと書くよ）であってuがFの生成元とする。
さらに、uがZ_pで超越的な場合を考える。Z_pは部分体だし、uは生成元なので
Z_p(u)＝Fとなるが、Fが巡回群とすると、uが生成元だからZ_pの元1に対し、1=u^sなるsが存在するが
これはu^s-1の根なので、超越的ではないので矛盾するため、巡回群ではない。
ii)uが代数的な場合
uがZ_pで代数的とすると、f(u)=0となるｆがある。∂u=dとすると、Z_p(u)は{1,u,....,u^d-1}を基底として
Z_p上の線形空間になるから、位数p*d個の有限群になるので矛盾するので、巡回群ではない。

これでどうだろう。