E/Fとかが商にみえてしまうのと、Gal(E/F)とかが、読んでる途中で具体的イメージが消えてしまい、それを意識しだすと、定理の論理展開についていけない。という問題に直面。難しいね。抽象的な議論は追えても具体的な例が頭に浮かばないと理解したとはいえな…

i)定理45から、n次のf(x)が既約なのでK=F[x]/(f(x))はFの拡大体で、f(x)の根をつかって、そのF上の基底は{1,α,...,α^n-1}であるから[K/F:F]=n,K/Fでf(x)が分解する場合はそれでおわり。しない場合、その根を使って分解するまでK/Fを拡大すればよい。次元公式…

i)f(x)が既約で、補題50でFとF'をE/Fとおくと、Gal(E/F)の元でσで、f(x)の根βに対して、根αがあって、σ(α)=βが存在するので、推移的。 ii)既約でないと仮定すると、既約なg(x)でf(x)=g(x)h(x)と書ける、重根がないので(g(x),h(x))=1、αがgの根であれば、g(x)…

f(x)=x^4-10x^2+1の分解体は、根α=sqrt(2)+sqrt(3)とすると、Q(α)で、[Q(α):Q]=4 {1,sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6)}が基底、sqrt(2),sqrt(3)の符号を入れ替えるものがGal(Q(α)/Q)の元だから Z_2*Z_2でいいのかな。（ちがってたらおしえて）

あれれ、これは簡単とおもったけど、いざ書こうとすると詰まるorz... i)α,βが代数的なら、モニック多項式があって、その根になっていおり、それぞれのモニック多項式の次数をs,tとすると、{1,α,....α^s-1},{1,β,....β^t-1}を基底として、F(α)/F,F(α,β)/F(α)…

やばい。昼間っから酒を飲んでしまったよ。数学を考えるのはだるいので、ギターをさらうことにしよう。とりあえず無伴奏チェロ１番のプレリュードの後半がちゃんと弾けないのでどうにかしたい。っていうかだね。後半のポジショニングがよくわからない。読譜…

これもちょろっとメモったけど、同型であることまで論証できるのかもしれないけど、ちょっとわからなかった。前半：有限拡大じゃなかったらどうするんだろう...F(α_1,...,α_n)はF上の線形空間とみなせる。有限拡大が保証されていない場合、基底があると言う…

E/Fが有限拡大なので、基底がある。この基底を使ってB/Fが書けるので、B/Fも有限拡大になる。有限であればB/Fの基底が取れる。B/Fの基底でE/Fの基底を書いて、そのB/Fの基底での商をつくれば、それは、E/Bの基底になる。以上から、[E:F]=[E:B][B:F]になる。…

K=Z_p(t)はZ_pを係数としたtを変数とする有理式全体である。ヒントどおりにf(x)=x^p-tの分解体をE/Kとする。f(x)のEでの根をαとするとf(x)=x^p-t=(x-α)^p=x^p-α^pとなる。従ってt=α^pなので、αはtのp乗根となるが、tの有理式ではないのでαはKの元ではない。f…

かつてない難問...f(x)を因子分解して、p_n(x)を既約因子になっているとする。 Fが完全⇔任意の因子f(x)の既約因子p(x)が重根をもたない。 ⇔p(x)が既約かつ(p(x),p'(x))≠1。 p(x)があらわに(x-α)^2を含めば、既約ではないため、F標数0なら、常に完全。 さて、…

有限体なら標数p>0なので、76を使う。 FからFへの写像、α->α^pは単写なので、逆が存在し76からすぐに完全であることがわかる。

ガロア群ですよ。なんかガロア理論の核心に近づいてる感じじゃね？で、いきなりだけど、前の章の練習問題で使う用語の定義を後からするのやめてくれ。正しく解釈できたからいいけど。で、やはり定理51が重要であることを再認識。当たり前と思えるくらいでな…

やはりわかった気がしない。しかしココは非常に重要な予感がする。とりあえず練習問題をやってみるしかないか。

73番後半。これは同型といえるのか？ 拡張である同型が存在することは言えるが、この場合は同型であるという仮定が要るのではないか？ 本文の流れであれば、同型と仮定してよいとおもわれる。 74番。見当がつかない。線形代数の一般論でいえる？ 基底の存在…

一つ一つのステートメントは理解できるのだけど、それが積みあがった全体は今ひとつしっくりと理解できた気がしない。具体例を考えないとつらい。10章から急に難しくなった気がする。

いきなり他の本をもってこられても困る。 p=0の場合だけが今後の議論で使われるのなら、放置しよう。 p>0の場合が本質的な例や定理で扱われるなら、ちゃんと勉強しなくては。

{0,exp(2PIin/7),(n=0,1,2,3,4,5,6)} がそう。積は冪が(n+m)になる、和はZ_2なので、各項の係数は0か1しかない。 n=0...5まで足すとn=6になるという法則。 表にしないとだめ？（めんどくさいよ）

x^6=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 という7項関係がある限り、8元体の部分体から4元体への同型写像は作れない。

まだまだ本題に到達せず、準備段階で先が見えませんが、既に問題を解くのに時間がかかるようになってきました。出張のついでに電車で読む。なんて読み方はツラくなってきました。がんばろう。

ミスプリだろうね。

f(r/s)s^nは0になる。 s^na_0はrを因子にもつが、(r,s)=1なので、r|a_0 同様にa_nr^nはsを因子にもつので、s|a_n モニックならa_n=1なのでs=1なのでr/sは整数。

1)2次のときはすぐわかる。既約 2)Z[x]で分解できないのでQ[x]で既約（定理39） 3)同じく既約 4)これも。 あってるかなあ。本質でないことを祈って次へ。

f(x)=既約な式とする。 g(x)=a_n+a_n-1x+...+a_0x^nとおいて g(x)/x^nはf(1/x)なので、 g(x)が既約でないならy=1/xと置いたf(y)が既約でないので矛盾。

p(x)が既約でないとすると p(x)=g(x)h(x)となるが、自己同型なので p(x+c)=g(x+c)h(x+c)となる。従って規約でない。 逆も同様。

あう、C[x]上の2次の解の公式は既知としていいんだろうか。 整数根がないので有理根がないことはすぐわかる。 それで終わりでは？ ヒントの意味がわからない。係数比較してb=cだから1とかやるの？ それは無駄なような.....

y=(u-sqrt(u^2-4v))/2 z=(u+sqrt(u^2-4v))/2 となる。

(x-3)(x^2+4x+12) これ以上はQじゃない。

(y+z)^3+q(y+z)+r=0だから z^3+y^3+(u)(3zy+q)+r=0 y^3を本のとおり、z^3を(-r-sqrt(R))/2+cとすると c=0になる。

うわあ めんどくせえ。 4次は実は(x+1)が因子なので実質3次 公式に突っ込むだけなので省略させてくださいませ。 あとで戻ってくるかもね...でも例17とかを頑張るのが本質とは思えない 既に、現代に生きる我々は、複素数を知ってるんだからね。今は早く次行き…

ナットというと6角形のヤツじゃなくて、6本切れ目が入ってるヤツ。FloydRose系 の肝といえばココ。で、アームをいじるとピキンピキンと音がするので、裏から増し締め。 10年ぐらい前、RGを持っていたのだけど、あれはスラントヘッド部が接着だった。 JEMは流…