練習89

まずひんとのところから。
ぐはー、これ、SがEの部分体ってとこがミソだよな。FがK（≠F）でも成り立ちそうで成り立たない理由は、拡大される側の体が部分体であるってとこだよね。なんかずるい。

で、ヒントどおりにf(t)を考えると、t^nの係数は、全部Sの元になる。F(x_1,...,x_n)はSの拡大であるが、x_iが欠落している場合はSの分解体をふくむことはできない。Fを真に小さいKに置き換えると、SがE部分体という条件に反するから、Eは、「最小の」f(t)を分解するSの拡大体になる。つまり分解体。（ぐぐると最小分解体という言葉もあるみたいだが、この本では、それを分解体という。）
そこまで言えれば、xの入れ替えはSnなのでGal(E/S)はSnと同型で、定理56から[E:S]はn!