これも難しい。標数0というのをどこで使うのだろう。 f|f'までは言えるので、そこから先で使うのだろうが、Z_pとかだと成立しない例が あるのだろうか。 ぐぐったらわかった。f'=0になる場合がある。F[x]⊂E[x]で、 (f,f')=m(x)とすると、m(x)はF[x]の元なの…

(-1+sqrt(3)i)/2,(-1-sqrt(3)i)/2,0,1でどうよ。

56より先に、まずこっちを考える。 練習20であげた（さっき微妙に書き換えたんだけど）Frac(Z_p[x]）は、票数pの無限体。

ごごから仕事に行かねばならないのであった。orz.

aに対して、f(a)=0となるF[x]がkerφ、準同型であるから、イデアルであることはわかる。 では、F[x]/kerφは、体か？ f(x)の逆は1/f(a)なので体。定理26から極大イデアル。kerφが、f(a)=0となる関数全てだということから、F[x]/kerφは、f(a)の値だけで代表元が…

i)はわかるとして、ii)がつらい。56番にして挫折か？ i)は2項定理を順番に適用していく。 Σaix^iをai∈Z_pとすると、1項だけ分割して、(Σa_ix^i+a0)^pは (Σa_ix^i)p+a0^pなので、これを繰り返していけば、Σa_ix^i+pになるよー。ii)たとえば、係数をFrac(Z_2[y…

(f,g)=p(x)≠1とすると、定理30から、それを分解するEが存在する。 p(x)は線形分解なので、共通根は、Eに含まれる。 f(x),g(x)の共通根を含むEが存在するとき、(f(x),g(x))は、E(x)で、(x-a)を因子にもつので1 ではない。それは、F[x]の元であることは、系18…

p(x)が既約でないとするとp(x)=f(x)g(x)で∂f 3次以下の場合、f,gのどちらかは必ず１次になるので、(x-a)と書ける従って、aは根。 p(x)が既約の場合については対偶を示す。 p(x)の根がFに含まれる場合はp(x)=(x-a)g(x)とかけるので、既約ではないので、 既約…

p(x)が既約なら、その因子は、1かp(x)自身。 g(x)がp(x)を因子に持つ場合と持たない場合、それぞれ p(x)|g(x)か(p(x),g(x))=1になる。

下記のようなことは書けるが..... - i)Fは体なので、最大次数の係数をくくりだしてaとする。 f(x)が既約とするとそれで終わり。 既約でないとすると、∂g この操作はすべての因子が既約になるまで繰り返せる。 さらに、f(x)の次数を上限として有限回の操作で…

うーん、こまったな。自明にみえるので、何を示せばいいかわからない。gcmは共通因子であるが、f(x)/gcmと、g(x)/gcmは共通因子が無いので互いに素。 従ってgcmを因子にもつ共通因子はそれ以外にない。じゃないと、その商は f(x)/gcm,g(x)/gcmの共通因子にな…

i)定理25のIが零イデアルの場合に相当する。 ii)定理26のIが零イデアルの場合に相当する。

Z[x]/Iは、Z_2つまり体なので、定理26からIは極大イデアル

自明に見える問題は困る。最大公約多項式の次数が0次でないとすると、x-a_iの因子は1次であるからx-a_i自身である。 しかし、x=a_iのとき、(a_i-a_1)....(a-i-a_i-1)は0でないので,因子ではないから、 0次であって、1は共通因子なので互いに素。

これは誤訳なのではないか？ 互いに素であるとは定理14から、1が線形結合で書けることなのだが、1が線形結合で書けない場合もある。その例が練習40で示されている。この問題の場合も、最大公約数が無い場合に相当する。 xf(x)の定数項は無い。2g(x)の定数項…

重根をもつなら、 f(x)=(x-a)g(x)であってg(x)は(x-a)を因子にもつ。 積の導関数の定義からf'(x)の導関数はg(x)+(x-a)g'(x)であって(x-a)を因子にもつから f(x),f'(x)は共通因子(x-a)をもつので(f(x),f'(x))=1ではない。 逆に(f(x),f'(x))が(x-a)を共通因子…

暗算はニガテなので、これは紙がないとさすがにキツイ。 f=x^3-2x^2+1,g=x^2-x-3とすると、 有理数の範囲では、fの因子となるのは(x-1)だけ。1が共通因子となる。 xf-(x^2-x+2)g=6 なので、x/6,-(x^2-x+2)/6を係数として線形結合として書けることが互除法で…

ax^2+bx+cで、a,b,cがZ_2なので、x^3=-x-1で置き換えていけば、積と和は閉じてることはわかる。 任意の元の逆が存在することをいればいい。積を形式的に書いて、2次と１次の係数を 0になるように決めればいいんだが、そのとき定数項が0にならない解があるか…

f(a)=0なら、fはaを根にもつし、aを根にもつならf(a)=0なので Kere_aはf(a)=(x-a)g(x)となる。Rは体なので、これはx-aでの単項イデアルの定義そのままなんだが。

h(x)=g(x)-f(x)とおくと高々n次。 h(x)が0でないとすると、(x-a_i)を因子にもつが、仮定によりn+1次。矛盾するので0。

すばらしい。弦を張るときボールエンドを切らなくていいとは.... 実は買ってから何日も経ってからの初めての弦の張り替えでした。 というか、弾く時間があまりないのが悲しい。ギターの値段の差は低音弦ハイポジションに出るというのが 自説なのだけど、その…

i)ヒントどおりに論証しようとすると、Zで、まず、(a_1,...,a_n)で生成されるイデアルIが単項イデアルかどうかが心配。定理13の整数版をまず示す。 Iの正の最小元をdとするとIの元mはn∈Zと、0

存在をしめすだけなら、ヒントの検証をすることで十分。 これは何が言いたいかというと、極大は存在するが最大がない。 という言い方が適切かもしれない。 最大公約多項式ならば、公約多項式すべてが因子となって いなければならないので、ヒントにあげられ…

「係数が一致するとは限らないので」x^p≠xであるとはどういう意味だろう。 「」内がなければ納得。何の係数だろう。英語を想像すると意味が理解できる ことがままあるが、これは意味がわからない。

φ(p+q+I)=φ(p)+φ(q)+φ(I) φ(pq+I)=φ(p)φ(q)+φ(I) φ(1+I)=φ(1)+φ(I) なのでφ~は準同型。 φ(p)+Jに対し、pが決まることはφが同型なので保障される。 φ(p)+Jとφ(q)+Jが同じならp-q+I=0なのでp-qは同じ集合の 異なる代表元としての違いしかないので、φ~は同型 と…

時間がなくてなかなか読み進められない。 あした１日かいしゃに行けば休みだ。

うわ。わかんねえ。どうしよう。全写か？これ。あ、そゆことね。 Iを含むRの部分環Aで、A/Iがイデアルとする。つまりa,b∈Aなとき、a+I,b+Iに対し a-b+IがA/Iに含まれr∈Rのとき、r(a+I)はra+Iで、A/Iに含まれるとする。 a-bとIの元iがあって、a-b+iはAの元で…

R[x]の任意の元は、f(x)=F(x)x+cであり、F(x)xは、(x)の元であるから R[x]/(x)の代表元をｃとする。これからRの元ｃへの写像をφとすると φ(cd)=φ(c)φ(d),φ(c+d)=φ(c)+φ(d) φ(1)=1 準同型。 f(x)の定数項は自由にとれるので全写、 f(x),g(x)が同じRの元にうつ…

第2章例2から Zn={m∈Z:m = a mod n} ={m∈Z:m=a+kn;k∈Z｝=Z/I ただしI=(n) こういうもんだいは、なんかすっきりしない。

φは、a+bx+I→a+biで定義される写像のミスプリだとおもう。φ(a+bx+I+c+dx+I)=a+c+(b+d)x=φ(a+bx+I)+φ(c+dx+I) φ( (a+bx+I)(c+dx+I) )=ac-bc+(cb+da)x=φ(a+bx+I)φ(c+dx+I) φ(1)=1 a+biに対し、a+bx+Iがきまるので、全射。 単写であることは、逆があることを使…