練習76

かつてない難問...f(x)を因子分解して、p_n(x)を既約因子になっているとする。
Fが完全⇔任意の因子f(x)の既約因子p(x)が重根をもたない。
⇔p(x)が既約かつ(p(x),p'(x))≠1。
p(x)があらわに(x-α)^2を含めば、既約ではないため、F標数0なら、常に完全。
さて、Fが標数pなので、p(x)=x^p-αで、p'(x)=0であることが必要十分となる。
適切な拡大体において、p(x)=(x-α^1/p)^pなので、αのp乗根がFに含まれていれば、p(x)は既約ではないので既約因子ではなく、(x-α^1/p)が既約因子になる。従ってFは完全。
αのp乗根がFに含まれていなければ、p(x)は既約かつ重根をもつので、Fは完全ではない。