問題2.2(b

生成消滅オペレータでHを対角化しろと。そうすると、二つの実スカラー場と解釈できる。やり方はEMANさんのページの方法が秀逸なので真似することにする。
\phi=A+iB; \phi^*=A-iB
と分解する、[A,B]=0だから、ラグランジアンは
L=\partial_\mu A \partial^\mu A -m^2 A^2 + \partial_\mu B \partial^\mu B - m^2 B^2
なんでそれぞれ(2.25)の正準量子化のトリックを適用する。
A=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{-ipx}+a_p^\dagger e^{ipx})
B=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(b_pe^{-ipx}+b_p^\dagger e^{ipx})
ただし
[a,a^\dagger]=[b,b^\dagger]=(2\pi)^3\delta(p-p')
であるが、ラグランジアンが、A,B分離された形になっているので、
[a,b]=[a,b^\dagger]=[a^\dagger,b]=0
という交換関係は必要ではない。これが対角化のご利益。
H=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}2E_p(a^\dagger_p a_p + b^\dagger_p b_p)
となっていて、クロスタームは現れない。