問題2.2(a

やっと量子場。演習問題は重要だな。いい加減に流し読みしていたところがボロボロと発覚。神の如き素晴らしいページを発見。
L=\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi
のときφ(x)の共役運動量は
\pi=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}(x)}=\partial_0\phi^*=\dot{\phi^*}
複素共役をとると
\pi^*=\dot\phi
であって、ハミルトニアンは
H=\int d^3x(\pi\dot\phi+\pi^* \dot{\phi^*}-L)= \int d^3x (2\pi^*\pi-\pi^* \pi+\nabla\phi^*\cdot\nabla\phi + m^2 \phi^* \phi)
ハイゼンベルグ方程式は
i\frac{\partial}{\partial t} \phi=[\phi,H]
あれれれれ。えーと、(2.30）まで戻ると
=\pi^* \int d^3x [\phi,\pi ] =i\pi^* \int d^3x \delta^{(3)}(x-y) =i\pi^*
となる。一方
i\frac{\partial}{\partial t} \pi=[\pi,H]
は
=\int d^3x [\pi,\phi ]\phi =i(-\nabla^2+m^2)\phi
であって、それぞれ複素共役を考えて
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi = (\nabla^2-m^2)\phi
と
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi^* = (\nabla^2-m^2)\phi^*
が得られる。