問題2.3

プロパゲーターの計算。これまたBessel関数なんか忘れててるので、長考に入る（とかいいつつググるだけなのさ）つまるところ、3次元の積分を極座標でうまくやればいいんだな？そういうことだよな。
\langle 0|\phi(x)\phi(y)| 0 \rangle = D(x-y) =\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}e^{-ip\cdot(x-y)}
で、空間的な位置関係とするので
(x-y)^2=-r^2
極座標での積分に書き換えると
D(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi} d\phi \int_{-\pi}^\pi d\theta sin(\theta) \int_0^\infty p^2dp\frac{e^{ip\cdot rcos(\theta)}}{2E_p}
cos(\theta)=tとおいて
=\frac{-1}{(2\pi)^2}\int_{-1}^1dt \int_0^{\infty}p^2dp \frac{e^{iprt}}{2\sqrt{p^2+m^2}}
=\frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{\infty}p^2dp\frac{1}{2ipr\sqrt{p^2+m^2}}{(e^{-ipr}-e^{ipr})}
=\frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{\infty}dp \frac{psin(pr)}{r\sqrt{p^2+m^2}}
これってBessel関数？（符号がちょっと怪しい）
http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html
第二種修正ベッセル関数というので書けるみたいだね。Wolframさまステキ。
でもこれ以上計算してなんか綺麗な形になるとは思えないのでこれにて終了。